Primer problema:
lim (√x -1) / (x-1)
x→1
Si sustituimos x = 1 da una indeterminación 0/0. Racionalizamos el numerador multiplicando por √x +1 tanto en el numerador como en el denominador:
lim [(√x -1)(√x +1)] / [(x-1)(√x +1)]
x→1
El numerador tiene ahora un producto de binomios conjugados, que al multiplicarse dan una diferencia de cuadrados:
lim [(√x)² -1²)] / [(x-1)(√x +1)]
x→1
lim (x -1) / [(x-1)(√x +1)]
x→1
Simplificando x-1:
lim 1 / (√x +1)
x→1
Sustituyendo x = 1
= 1/(√x +1) = 1/2
~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~~
Segundo problema
lim (2x²-x-3) / (x³+2x²+6x+5)
x→-1
Sustituyendo x = -1 nos da 0/0
Factorizando el polinomio 2x²-x-3 = (2x+a)(x+b), se buscan dos números a y b que multiplicados den -3, tal que 2b+a = -1. Esos números son -3 y 1
lim [(2x-3)(x+1)] / (x³+2x²+6x+5)
x→-1
Esto significa que el polinomio x³+2x²+6x+5 tiene alguno de los factores (2x-3) o (x+1), puesto que es lo que provoca la indeterminación. Probando si es divisible entre x+1, por division sintética:
. . | 1 . 2 . 6 . 5
-1 | . . -1 .-1 .-5
----------------------
. .. 1 . 1 . 5 . 0
El residuo es cero y el poinomio x³+2x²+6x+5 = (x+1)(x²+x+5)
lim [(2x-3)(x+1)] / [(x+1)(x²+x+5)]
x→-1
Simplificando el factor x+1:
lim (2x-3) / (x²+x+5)
x→-1
Sustituyendo x = -1
= (2(-1)-3) / ((-1)²+(-1)+5)
= (-2-3) / (1-1+5)
= -5 / 5
= -1
~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~~
Tercer problema:
lim (x³-x²-x+10) / (x²+3x+2)
x→ -2
Factorizando x²+3x+2 = (x+2)(x+1), se concluye que x³-x²-x+10 debe ser divisible entre el factor x+2, que es el que provoca la indeterminación al sustituir x = -2. Usando división sintética
. . | 1 .-1 .-1 . 10
-2 | . . -2 . 6 .-10
------------------------
. . . 1 .-3 . 5 .. 0
lim [(x²-3x+5)(x+2)] / [(x+2)(x+1)]
x→ -2
lim (x²-3x+5) / (x+1)
x→ -2
Sustituyendo x = -2
= ((-2)²-3(-2)+5) / ((-2)+1)
= (4+6+5) / (-1)
= -15
