Una pelota de béisbol se proyecta horizontalmente en el vacío desde un punto O con velocidad . Si la tierra no ejerciera ninguna atracción sobre la pelota, y se supone nula la resistencia del aire, la pelota se movería en el vacío y en tiempos
t1,
t2,
t3 ocuparía posiciones tales como A, B, C, D , y el movimiento sería rectilíneo uniforme de velocidad constante . Sin embargo como la pelota está sometida a la atracción gravitatoria, a la vez que se mueve horizontalmente, cae verticalmente con aceleración constante - y al final de los tiempos indicados, las posiciones de la pelota son, respectivamente, A', B',C',D' , La curva que une a estos puntos corresponde a una parábola .
La trayectoria seguida por la pelota puede considerarse como el resultado de dos movimientos: Uno horizontal uniforme a lo largo del eje x y de velocidad constante , y otro vertical de caída, uniformemente variado a lo largo del eje y de aceleración constante .
Ecuaciones de la velocidad
La componente horizontal de la velocidad será de magnitud constante a través de todo el recorrido e igual a . Esto se debe a que el movimiento en esta dirección es con velocidad constante. En toda la trayectoria la componente horizontal () será la misma velocidad inicial; esto es . En módulo:
La componente vertical en un instante de tiempo cualquiera, viene dada por:
La magnitud de la velocidad resultante V, viene dada en módulo por la expresión:
Para determinar la dirección del vector , es decir el ángulo a que forma con el eje x , basta con aplicar la relación trigonométrica
Luego:
Recordar que el vector velocidad siempre es tangente a la trayectoria descrita por la partícula
Ecuaciones del desplazamiento
Como se puede notar el movimiento tiene simultáneamente un desplazamiento horizontal () y un desplazamiento vertical () en un instante de tiempo cualesquiera.
La ecuación de desplazamiento horizontal (X) en módulo, es la misma del movimiento rectilíneo uniforme puesto que la rapidez en ese sentido es constante
El desplazamiento vertical (y) en módulo se calcula como si el cuerpo se moviese en caída libre
La posición a lo largo del eje y, en el tiempo t.
El desplazamiento total (d) en módulo viene dado por:
La dirección del desplazamiento se obtiene aplicando la definición de tangente
El tiempo de vuelo ( )
Es el tiempo transcurrido desde el momento del lanzamiento hasta tocar el suelo.
Recuerde que la cantidad subradical será siempre positiva
El alcance horizontal ( R ) es el desplazamiento horizontal en el tiempo de vuelo. La ecuación para calcular el alcance horizontal, pero con
Ecuación de la Trayectoria
La idea consiste en demostrar que la trayectoria del proyectil es parabólica. En efecto, el desplazamiento horizontal para un cierto tiempo t viene dado por:
de donde :
(a)
Por otra parte, el desplazamiento vertical al mismo tiempo t es:
(b)
Como el tiempo para ambos desplazamientos es el mismo, podemos sustituir t de la ecuación (a) en tde la ecuación (b) quedando:
Como , y g son constantes se pueden sustituir lo que está dentro del paréntesis por k, adoptando la expresión la forma siguiente:
que corresponde a la ecuación de una parábola.
Por lo tanto las coordenadas ( x ,y ) que determinan la posición de la partícula en el plano serán:
Ejemplo
Un avión vuela con una velocidad horizontal constante de 600km/h a una altura de 6 km y se dirige hacia un punto que se encuentra directamente arriba de su objetivo ¿ Cuál es el ángulo de mira al que debe arrojarse un paquete de supervivencia para que llegue a su objetivo?
Solución
Se escoge un referencial fijo respecto de la Tierra con su origen 0 en el punto que se suelta el paquete, cuya velocidad en el momento de ser soltado, es igual a la del avión.
= 600 Km/h = 166,66 m/seg
De aquí que la velocidad inicial del paquete Vo sea horizontal y su magnitud sea de 600 Km/h. El ángulo de tiro es cero.
El tiempo de vuelo se calcula con la expresión
= 34,99 seg ( No depende de la rapidez del avión cuando el tiro es horizontal)
El alcance horizontal es
R = . = 166,66 m/seg X 34,99 seg
R = 5831,43 m = 5831,4 m = x
De modo que el ángulo de mira f se define como
