RESOLUCIÓN.
Todos estos ejercicios son aplicación del Teorema
de Pitágoras
(c^2 = a^2 + b^2), cuando el triángulo es rectángulo. Luego todo
se limita a buscar triángulos rectángulos donde haya un solo lado desconocido.
Intenta dibujar las situaciones propuestas para que te sea fácil visualizar las
indicaciones que te voy a dar.
Ejercicio 2.
Para calcular el área se debe aplicar la siguiente ecuación:
A = Base * Altura / 2
Como ya conocemos la base = AC = 24 cm y la altura = 5 cm se
calcula el área.
A = 24*5/2 = 60 cm^2
Como el triángulo es isósceles y la altura se
traza desde B, al trazar esta altura, el triángulo original ABC se divide en 2
triángulos rectángulos iguales. Sea M el punto donde la altura corta a la base
AC. Entonces AMB es rectángulo. Los datos conocidos son BM (altura) = 5 y MB
(mitad de la base) = 12. Entonces, el lado AB es la hipotenusa del triángulo:
AB^2 = 5^2 + 12^2 => AB = √169 = 13 cm
Dado que AB = BC, también conoceríamos el tercer
lado del triángulo grande. En conclusión:
AC = 24, AB = 13 y BC = 13. El perímetro es la
suma de los lados de cualquier triángulo:
P = 24 + 13 + 13 = 50 cm
Ejercicio 3.
Para el ejercicio 3, puntualizamos que el área de
un rombo de diagonales mayor y menor y respectivamente es A = D*d/2.
Si en un rombo dibujas las dos diagonales, quedan
cuatro triángulos rectángulos iguales (porque las diagonales son
perpendiculares en el rombo). En cada uno de esos triángulos, un lado es
siempre la mitad de la diagonal menor y la mitad de la diagonal mayor. El lado
exterior de cada triángulo es siempre el lado del rombo.
Dado que en el rombo los 4 lados son iguales y el
perímetro es 40 cm, es porque cada lado del rombo mide 10 cm. Si la diagonal
menor completa mide 12 cm, es porque en los triángulos rectángulos, el lado
menor mide 6 cm. Con estos dos lados del triángulo, podemos buscar el tercero
aplicando el teorema de Pitágoras, sabiendo que la hipotenusa es el lado del
rombo:
X = √10^2 – 6^2 = √100 – 36 = √64 = 8 cm
Luego el cateto mayor del triángulo (que es la
mitad de la diagonal mayor) es de 8 cm.
Por lo
tanto, la diagonal mayor entera mide el doble (8 · 2 = 16 cm).
Ya podemos calcular el área:
A = 18 * 12 / 2 = 108
cm^2
Ejercicio 4.
Un triángulo es equilátero si sus 3 lados son
iguales. Al trazar la altura, quedan dos triángulos rectángulos iguales. La
dificultad ahora es que no conocemos las longitudes de los lados, pero podemos
llamarlo y trabajar el ejercicio
como si fuera un número. Al final saldrá una ecuación que resolveremos.
Si en el triángulo equilátero todos los lados son y la altura es 3 cm, los
datos que tenemos en el triángulo rectángulo (uno cualquiera de ellos) son en la hipotenusa, 3 en
la altura y x/2 en la base. Ahora
aplicamos el teorema de Pitágoras:
x^2 – (X/2)^2 = 9 => 3X^2 = 36 => X^2 = 12 => X = √12
Ejercicio 5.
Si
un cateto mide tres veces más que el otro en un triángulo rectángulo, se pueden
conseguir el valor de los catetos aplicando el teorema de pitágoras:
10^2
= X^2 + 9X^2 => X^2 = 100/10 => X = √10 cm
Un
cateto vale √10 cm y el otro 3√10 cm.
El
área sería:
A
= √10 * 3√10/2 = 15 cm^2
Ejercicio
6.
Para
ambos casos de debe aplicar pitágoras para conocer la hipotenusa.
a)
Ha = √8^2 + 6^2 = 10 cm
b)
Hb = √8^2 + 4^2 = 4√5 cm
Ejercicio
7.
Se
aplica el mismo procedimiento que en el ejercicio 6.
a)
Ha = √2^2 + 2^2 = 2√2 m
b)
Hb = √0,6^2 + 0,6^2 = 3√2/5 m
c)
Hc = = √5^2 + 5^2 = 5√2 dm
