Multiplicación de un número por un polinomio
Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes elproducto de los coeficientes del polinomio por el número.
3 · (2x3 − 3 x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6
Multiplicación de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.
3x2 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x5 − 9x4 + 12x3 − 6x2
Multiplicación de polinomios
P(x) = 2x2 − 3 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.
P(x) · Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) =
= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =
Se suman los monomios del mismo grado.
= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.
También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:
Ejercicio
Efectuar de dos modos distintos la multiplicación de los polinomios:
P(x) = 3x4 + 5x3 − 2x + 3 y Q(x) = 2x2 − x + 3
P(x) · Q(x) = (3x4 + 5x3 − 2x + 3) · (2x2 − x + 3) =
= 6x6 − 3x5 + 9x4 + 10x5 − 5x4 + 15x3 −
− 4x3 + 2x2 − 6x + 6x2 − 3x + 9 =
= 6x6 + 7x5 + 4x4 + 11x3 + 8x2 − 9x + 9
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2)
Una forma de multiplicar dos polinomios es ponerlos entre paréntesis, multiplicando y aplicar la Propiedad distributiva entre la multiplicación y la suma. Para este ejercicio sería así:
A = -9x2 + x + 5x4
B = 3 - 2x2
-9x2 + x + 5x4)*(3 - 2x2) =
(-9x2)*(+3) + (-9x2)*(-2x2) + (+x)*(+3) + (+x)*(-2x2) + (+5x4)*(+3) + (+5x4)*(-2x2) =
-27x2 + (+18x4) + (+3x) + (-2x3) + (+15x4) + (-10x6) =
-27x2 + 18x4 + 3x - 2x3 + 15x4 - 10x6 =
-27x2 + 18x4 + 15x4 + 3x - 2x3 - 10x6 =
-27x2 + 33x4 + 3x - 2x3 - 10x6
El segundo y el tercer paso se pueden obviar, si directamente se puede encontrar el resultado de la multiplicación de los términos con el signo correspondiente, y los términos quedan sumando o restando según sea el signo que dió la multiplicación de los términos.
Luego, se pueden "juntar" los términos de igual grado, es decir: sumar sus coeficientes, como ya se vió en la suma de polinomios:
+18x4 + 15x4 es igual a +33x4. Porque +18 + 15 = +33. Y la letra queda con el mismo grado.
Y no hay otros términos del mismo grado para "juntar".
Algunos ponen directamente los resultados de las multiplicaciones, sin hacer el segundo y tercer paso, pensando que en cada multiplicación de términos se multiplican 3 cosas: los signos, los números y las letras. Es decir, van multiplicando cosa por cosa (signo - número - letra), y poniendo el resultado. Así no hacen el segundo y tercer paso. El proceso sería así:
(-9x2 + x + 5x4)*(3 - 2x2) =
1) Primero multiplico (-9x2) por el primer término +3 (que no tiene signo delante, y entonces es +3), y pienso cosa por cosa:
los signos: "menos por más, dá menos (-)"
los números: 9*3 = 27
las letras: x2. No hay otra letra con la cual multiplicarla, así que queda igual.
Entonces el resultado es -27x2. Así que me va dando:
= -27x2 ..............................................
2) Cuando multiplico (-9x2) por el segundo (-2x2) (como en el polinomio, 2x4 está restando, lo tomo como término negativo), pienso:
los signos: "menos por menos, dá más (+)" (como dió positivo, va a quedar sumando)
los números: 9*2 = 18
las letras: x2*x2. Se suman los exponentes porque son potencias de igual base, y como
2 + 2 = 4, queda x4
Entonces el resultado es +18x4. Como es positivo, pongo sumando al término 18x4:
= -27x2 + 18x4 .....................................
3) Cuando multiplico (+x) por (+3) (Como en el polinomio, x está sumando, lo tomo como término positivo. Y como el 3 no tiene signo delante, es positivo también), pienso:
los signos: "más por más, dá más (+)" (como dió positivo, va a quedar sumando)
los números: 3 (no hay otro número, así que queda el 3)
las letras: x (no hay otra letra, así que queda x)
Entonces el resultado es +3x. Como es positivo, pongo sumando al término 3x:
= -27x2 + 18x4 + 3x..............................
4) (+x)*(-2x2)
los signos: + por - = -
los números: 2 (no hay otro)
las letras: x*x2 = x1*x2 = x1+2 = x3
= -27x2 + 18x4 + 3x - 2x3 ....................
5) (+5x4)*(+3)
los signos: +.+ = +
los números: 5*3 = 15
las letras: x4
= -27x2 + 18x4 + 3x - 2x3 + 15x4 .........
6) (+5x4)*(-2x2)
los signos: + por - = -
los números: 5*2 = 10
las letras: x4*x2 = x4+2 = x6
= -27x2 + 18x4 + 3x - 2x3 + 15x4 -10x6
Si el resultado de la multiplicación da positivo, al término se lo pone sumando; y si da negativo, restando. Y al primer término si da positivo no se le pone el signo, mientras que si da negativo se pone el signo "-" delante del número. Así se puede ir resolviendo cada término, evitando los dos pasos intermedios.
