y=x^n
1er paso aumentar y+Δy y x+Δx
entonces:
y+Δy = (x+Δx)^n
al expandir (x+Δx)^n quedara algo de la forma:
x^n + C₁x^(n-1)Δx + C₂x^(n-2)Δx^2 + C₃x^(n-3)Δx^3 + ...+ CxΔx^(n-1) + Δx^n
donde C₁, C₂, etc son coeficientes numéricos que corresponden según el teorema del binomio a los respectivos del tríangulo de Pascal, pero aquñi no interesan comos e verá a continuación:
2do paso:
restar la primera ecuación de la aumentada:
y+Δy - y = (x+Δx)^n - x^n
Δy = x^n + C₁x^(n-1)Δx + C₂x^(n-2)Δx^2 + C₃x^(n-3)Δx^3 + ...+ CxΔx^(n-1) + Δx^n - x^n
combinando términosw comunes se ve que se cancela x^n con - x^n y queda
Δy = C₁x^(n-1)Δx + C₂x^(n-2)Δx^2 + C₃x^(n-3)Δx^3 + ...+ CxΔx^(n-1) + Δx^n
3er paso:
dividir el resultado en Δx
Δy C₁x^(n-1)Δx + C₂x^(n-2)Δx^2 + C₃x^(n-3)Δx^3 + ...+ CxΔx^(n-1) + Δx^n
--- = --------------------------------------------------------------------------------------------
Δx Δx
ahora distribuimos el denominador del lado derecho en cada término del numerador
Δy C₁x^(n-1)Δx + C₂x^(n-2)Δx^2 + C₃x^(n-3)Δx^3 + ...+ CxΔx^(n-1) + Δx^n
--- = ---- ------ ------ -------- ------
Δx Δx Δx Δx Δx Δx
bien adviértase que el primer término se cancel el Δx y en los demás se reduce el exponente en 1 por la porpiedad de divisñon de potencias de base común:
Δy/Δx = C₁x^(n-1) + C₂x^(n-2)Δx^1 + C₃x^(n-3)Δx^2 + ...+ CxΔx^(n-2) + Δx^(n-1)
4to paso:
calcular el límite cuando Δx-->0
entonces se reemplaza en la expresión de lderecha Δx por 0:
dy/dx = C₁x^(n-1) + C₂x^(n-2)0^1 + C₃x^(n-3)0^2 + ...+ Cx0^(n-2) + 0^(n-1)
0 elevado a cualquier potencia es 0 entonces
dy/dx = C₁x^(n-1) + C₂x^(n-2)0 + C₃x^(n-3)0 + ...+ Cx0 + 0
y 0 por cualquier numero es 0 así que se cancelan todo los te´rminos excepto el primero
dy/dx = C₁x^(n-1) + 0 + 0+ ...+ 0 + 0 = C₁x^(n-1)
bien ahora sólo resta determinar C₁:
ecordemos que C₁ es el coeficiente del segundo término de la expansión del binomio mediante el teorema del binomio. Este coeficiente del segundo términoe se puede verificar que siempre es igual al exponente al que está elevado el binomio, o sea n
por ejemplo en (x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2 el coeficiente del segundo término es 2
en (x+a)^3 = x^3 + 3x^2a + 3xa^2 + a^3 el coeficiente del segundo término es 3
esto se puede mostrar también usando el triángulo de Pascal
1 para n=0
1 1 para n=1
1 2 1 para n=2
1 3 3 1 para n=3
1 4 6 4 1 para n=4
1 5 10 10 5 1 para n=5 y así sucecivamente
adviértase que usando el triánbgulo de pascal para hallar los coeficientes d ela expansión el coeficiente del segundo término siempre esigual a n !!!
o usando el teorema del binomio que establece que esos coeficientes corresponden a las combinaciones
n en k-1, siendo k la posición del término en la expansión. comenzando con k=1 para el primer término
en este caso k=2 así que el primer coeficiente es las combinaciones n en 1
que es precisamente n
entonces
dy/dx = C₁x^(n-1) donde C₁=n por lo que
dy/dx = nx^(n-1)
esa es la demostración
